0.   引言

随着低碳经济的崛起, 新能源汽车产业成为中国重点发展的战略性新兴产业之一, 电动汽车也成为推动交通领域节能减排与可持续发展的重要力量。但由于现阶段电动汽车存在里程限制, 充电设施网络覆盖度的不足限制了电动汽车的大规模使用。考虑到改善电池储能技术、倡导生态驾驶行为等方案需要长期实践, 合理部署有限的充电资源对促进电动汽车的使用和推广具有重要意义。研究电动汽车混入条件下的随机动态用户均衡分配模型, 探究用户动态充电需求对充电设施服务水平的影响, 对充电设施网络的布局优化具有重要指导意义。

近年来, 国内外学者针对电动汽车的充电选择行为影响机理展开了大量研究^[1-3]。以此为基础, 现有研究一般采用混合交通条件下的交通流分配模型描述电动汽车的导入对交通网络的影响。Jiang等研究了考虑续驶里程限制的混合交通网络用户均衡问题^[4]; Gardner等分析了电动汽车的导入对路网系统中旅行时间和能量消耗的影响^[5]。上述研究均假定电动汽车和燃油汽车的出行路径选择行为相同, 未考虑电动汽车的充电行为, 难以描述真实的混合交通路网运行状态。Zhang等分析了不同充电费用对电动汽车路径选择行为及流量分配的影响^[6]; Jiang等结合出行者的目的地、路径选择以及停车行为, 采用基于均衡的分析方法来量化电动汽车的出行选择模式^[7]。然而, 以上问题均假定出行者于出发地或目的地充电, 未考虑在途快速充电行为对充电需求空间分布的影响。杨扬等结合出行能耗、旅行时间、充电时间等因素, 利用变分不等式模型建立了电动汽车和燃油汽车混合条件下的交通流均衡分配模型^[8]; He等考虑了充电时间、出行者里程焦虑等对出行路径和在途充电行为的影响, 还提出了一种基于出行链的网络均衡模型, 认为用户的出行链中可能存在多次充电行为, 并分析了用户风险态度对充电需求的影响^[9-10]。上述研究本质上均为静态的交通流分配问题, 在流量固定的情况下, 可按相应的规则预先获知路网中用户的充电需求, 未考虑路网状态与用户充电行为间的相互影响, 且对充电设施的运营状态、服务水平等因素关注较少。Agrawal等研究了混合交通流的动态用户均衡问题, 强调了电动汽车在能耗方面与燃油汽车的区别, 认为电动汽车在中低速工况下能耗性能最优, 电动汽车出行者倾向于选择行驶速度较低的路径以提升自身续航里程, 并分析了此类现象对混合交通网络的影响^[11], 但对电动汽车出行者的充电行为关注较少。

在分析电动汽车混入对交通网络影响的基础上, 许多学者将目光投向充电设施的选址优化问题。Church等认为需求产生并存在于路网中的某些节点, 提出了最大覆盖选址问题(Maximal Covering Location Problem, MCLP), 并通过布设一定数量的设施最大化地满足需求^[12]; Zhu等提出了一种考虑出行者往返通勤行为的充电站选址模型, 认为出行者可将绕行距离阈值内的充电站作为停车场, 还研究了考虑不同用户类型的充电站选址问题^[13-14]; 徐青山等将充电需求归算在出行起讫点, 利用运营出租车的轨迹数据获取充电需求的空间分布, 并以充电设施对充电需求的满足率来反映其服务水平^[15]; He等面向用户中长距离出行时的在途充电行为, 建立了考虑续航里程限制的充电站布局双层规划模型, 下层为静态的用户均衡, 上层为用户需求满足率最大化^[16]; 左志等提出了以路网总出行时间最短、广义出行成本最小为上层目标的优化模型^[17-18]。上述研究从不同角度为选址问题提供了建模思路, 但对充电设施运营状态和服务水平的考虑尚有欠缺。

针对现实路网中充电设施的布局优化问题, Hosseini等重点考虑了不同优化场景下的实际充电需求强度及随机特性^[19]; Yang基于快速充电站的实际运营数据, 发现现实条件下用户的充电需求时间分布并不均衡, 并以周末高峰时段的充电需求确定模型参数, 实现了考虑车辆到达状况与充电站服务能力约束的快充站点布局优化^[20]。此类研究引入了实际运营数据来校准充电需求, 能够有效提升模型参数选取的合理性, 可为较大范围的充电设施布局规划提供依据, 但仍未改变通过宏观静态需求分析充电站服务能力的基本思路, 难以准确刻画电动汽车出行者与路网中充电设施间的相互作用。

正如Yang^[20]的核心观点, 实际的充电需求具有时变特征, 不同时段的充电需求并不均衡, 因此, 本文在构建包含燃油汽车与电动汽车混合交通网络的基础上, 考虑用户的在途快速充电行为和充电设施内部的车辆到达、排队和充电等系列活动, 提出电动汽车混入条件下的动态用户均衡分配模型; 从微观动态的角度描述电动汽车出行者的充电行为, 精细刻画出行者、路网交通状态与充电设施三者间的互动关系, 为充电设施网络的电力负荷预测、服务水平评价、布局及规模优化等提供决策支持。

1.   混合交通网络构建

为保证模型的高效求解, 本文采用离散化的建模思路。对于研究时段T, 将其划分为S个长度为Δt=T/S的子时段, 对于任意一个子时段, 进入某一路段的车辆不能在该子时段内离开该路段。当子时段长度较小时, 可利用离散化过程模拟交通流的连续变化。建立4个基本假设: 认为出行者能够合理推算剩余电量是否能够抵达目的地, 且理性地选择其感知效用最大的出行路径; 考虑到私人充电桩保有率较低, 认为多数电动汽车出行者无法保证满电荷状态出发, 即可能发生在途快速充电行为; 假设电动汽车初始电量(State of Charge, SOC)足以支撑其到达距起点阻抗最小的充电站, 否则不存在该出行行为; 不考虑多次充电、车辆能耗性能差异以及充电设施所在停车场的容量限制。

1.1   网络抽象

构建包含公共充电设施在内的混合交通网络, 由燃油汽车子网络、有充电需求电动汽车子网络和无充电需求电动汽车子网络构成。定义N、A分别为网络中节点、路段集合, 其元素n∈N, a∈A; P为充电站集合, 其元素p∈N且p∈P; W为OD对集合, 其元素w∈W; M={m|G, E}, 为车辆类型集合, 包含燃油汽车G与电动汽车E这2类, m为M的元素; D={d|C, N}, 为电动汽车充电需求类型集合, 包含有需求C和无需求N这2类, d为D的元素; I={i|G, CE, NE}为用户集合, i为I的元素, CE和NE分别表示有和无充电需求的电动汽车; S_i为用户i的初始SOC, 整体服从均值为$\stackrel{-}{{\displaystyle S}}$、方差为σ²的正态分布; S ${}_{p,r}^i$为用户i经路径r到达充电站p时的剩余SOC。

当电动汽车出行者无充电需求时, 其网络拓扑结构与燃油汽车子网络一致; 当有充电需求时, 其出行行为包括充电站和路径的联合选择行为。当路径中存在多个充电站时, 应根据所选充电站的不同抽象为不同的路径。以图 1(a)为例, 用户由节点1出发前往节点5, 途中的节点2、4为充电站, 其中S_ab为节点a和b(a, b=1, 2, …, 5)间路段的电量消耗; 相应地图 1(b)中燃油汽车和无充电需求电动汽车子网络中包含路径①, 有充电需求电动汽车子网络中包含路径②和③, 上述3条路径具有不同的出行成本。

图  1  电动汽车出行抽象网络

Figure  1.  Abstract network for EVs travel

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考虑到燃油汽车续驶里程较长且能源补给快捷, 认为全体路径均可作为其备选路径, 并采用K短路算法生成备选集。对于电动汽车, 初始SOC和路网交通状态均会限制其路径选择。以OD对为节点1~5的电动汽车用户为例, 若S_i≥60%, 可行路径包括不充电路径①、充电路径②和③; 若45%≤S_i < 60%, 可行路径包括充电路径②和③; 若15%≤S_i < 45%, 仅充电路径②可行; 若S_i < 15%, 则认为不存在电动汽车出行行为。基于此, 定义可行路径的约束条件为

$\begin{array}{l}S{}_i-\left[e{}_{p,r}(t)/Q\right]\ge \psi r\in R{}_w^{\text{C}\text{E}}(1)\\ S{}_i-\left[e{}_r(t)/Q\right]\ge \psi r\in R{}_w^{\text{Ν}\text{E}}(2)\end{array}$

式中: e_{p, r}(t)和e_r(t)分别为t时刻电动汽车经路径r到达充电站p和终点需消耗的电量; Q=40 Ah, 为电动汽车的电池电量; ψ=0, 为用户可接受最低剩余SOC; R ${}_w^{\text{C}\text{E}}$和R ${}_w^{\text{Ν}\text{E}}$分别为OD对w间充电、不充电有效路径集合。

1.2   充电排队仿真

将充电站视为排队系统, 有充电需求的电动汽车为用户, 充电桩为服务台。用户到达后按一定规则选择队列进行排队, 完成充电服务后退出系统, 其基本要素如下。

1.2.1   输入过程

用户的到达分布与均衡条件下充电需求的时空分布有关, 由动态交通流用户均衡分配模型动态传入。

1.2.2   服务时间

服务时间指从目前剩余电量充至满电量状态所需时间。假设充电设施均为快充模式, 按公共快充桩的一般技术标准, SOC从0补充至100%需要约30 min。基于电池充电可接受电流定律^[21], 用户i的充电时间T_i为

$\begin{array}{l}{\rm T}{}_i=50\ln [\left(1-S{}_{p,r}^i\right)/0.9731+1](3)\\ S{}_{p,r}^i=S{}_i-e{}_{p,r}(t)/Q(4)\end{array}$

1.2.3   服务机构

由于多个充电桩可并行工作, 故采用并联模式的服务机构。在资源有限的情况下, 采用多服务台排队模式能够保证系统的效率和公平, 见图 2。

图  2  多服务台排队系统示意

Figure  2.  Schematic of multi-servers queueing system

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建立充电服务约束条件, 即

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _k\epsilon }{}_k^p\left(t\right)\le {\rm K}{}_p(5)\\ {\displaystyle \sum _p{\displaystyle \sum _k\chi }}{}_{i,p,k}=1i\in \text{C}\text{E}(6)\\ {\rm T}{}_{i,p}^{\text{b}}-{\rm T}{}_{i,p}^{\text{a}}\ge {\rm T}{}_{i}i\in \text{C}\text{E}(7)\end{array}$

式中: K_p为充电站p处充电桩的数量; ε ${}_k^p$ (t)为反映充电桩工作状态的0-1变量, 若t时刻充电站p处的充电桩k(k∈K_p)处于占用状态, 则取1, 否则取0;χ_{i, p, k}为反映用户充电位置的0-1变量, 若用户i选择于充电站p处的充电桩k进行充电, 则取1, 否则取0;T_i^a_{, p}、T_i^b_{, p}分别为用户i进入、离开充电站p的时间。

定义T ${}_k^p$ (t)为t时刻充电站p处的充电桩k预期完成服务的时间, 包含队列中用户的预计充电时间; I ${}_p^k$ (t)为t时刻充电站p处的充电桩k正在进行和等待服务的用户集合; a_i(t)为t时刻用户i所处的路段; T ${}_i^e$ (t)为t时刻用户i预计驶离当前路段的时间。设计排队仿真算法(Queuing Simulation Algorithm, QSA), 步骤如下。

步骤1:初始化。设置仿真起始时间t=0, T=300 min, Δt=1 min, 定义充电设施状态变量, 令ε_k^p(t)=0, T ${}_k^p$ (t)=0, I ${}_p^k$ (t)=∅。

步骤2:更新时间戳。若t≤T, 则t=t+Δt, 执行下一步, 否则结束算法。

步骤3:遍历i∈I ${}_p^k$ (t), 若T_i^b_{, p}≤t, 则从I ${}_p^k$ (t)中移除该用户, 并更新a_{i, r}(t)、T ${}_{i,r}^e$ (t), 若T ${}_k^p$ (t)≤t, 令ε ${}_k^p$ (t)=0, 遍历完成后执行下一步。

步骤4:遍历i∈{CE\I ${}_p^k$ (t)}, 依据a_i(t)、T_i^e(t)以及路网拓扑信息判断当前时刻是否存在用户i到达充电站p, 若存在, 执行下一步, 否则返回步骤2。

步骤5:令T_i^a_{, p}=t, 判断用户i所在的充电站p是否存在充电桩k满足ε ${}_k^p$ (t)=0, 若存在, 令T_i^b_{, p}=t+T_i, 否则令T_i^a_{, p}=min[T ${}_k^p$ (t)]+T_i; 将用户i添加至I ${}_p^k$ (t), 令T ${}_k^p$ (t)=T_i^b_{, p}, 更新χ_{i, p, k}、ε ${}_k^p$ (t); 继续遍历, 直至到达全部充电站的全部用户均完成分配, 执行下一步。

步骤6:根据χ_{i, p, k}、T_i^a_{, p}、T_i^b_{, p}以及T_i, 统计各充电站的车辆排队长度、等待时间、逗留时间、设备利用率等服务水平指标, 返回步骤2。

2.   模型与求解算法

2.1   约束条件

2.1.1   出行阻抗函数

由于燃油汽车和电动汽车的能耗特征不同, 且电动汽车出行阻抗与其充电行为密切相关, 本文针对不同用户类型分别确定瞬时型阻抗函数, 构建反应型动态交通流分配模型。

(1) 无充电需求电动汽车

这类出行阻抗函数包含行驶时间、能耗费用和角度费用等因素, 根据已有研究确定效用方程^[22], 即

$\begin{array}{l}c{}_r^{\text{Ν}\text{E}}(t)=\mathit{\alpha }\left(\tau {}_r(t),\gamma f{}_r^{\text{E}}(t),e{}_r(t),\rho {}_r\right){}^{\text{Τ}}(8)\\ \mathit{\alpha }=(\alpha {}_1,\alpha {}_2,\alpha {}_3,\alpha {}_4)(9)\end{array}$

式中: c ${}_r^{\text{Ν}\text{E}}$ (t)为t时刻无充电需求电动汽车于路径r的效用; τ_r(t)、f_r^E(t)分别为t时刻电动汽车在路径r上的行驶时间和电能; ρ_r为路径r的角度费用; α为该阻抗函数效用变量对应的系数向量, α₁~α₄为其元素; γ为电能消耗费率, 取1.045元·(kW·h)^-1。

为反映路段的拥堵状态, 通常采用点排队、元胞传输、路段传输等模型模拟车辆在路段上的传播。采用点排队模型计算路段行驶时间^[23], 则

$\begin{array}{l}\tau {}_r(t)={\displaystyle \sum _a\delta }{}_a^r\tau {}_a(t)(10)\\ \tau {}_a(t)={\rm T}{}_a+q{}_a(t)/C{}_a(11)\\ q{}_a(t)=\max \{q{}_a(t-\text{Δ}t)+\\ \left[{\displaystyle \sum _{m}u}{}_a^m(t)-C{}_a\right]\text{Δ}t,0\}(12)\end{array}$

式中: τ_a(t)、q_a(t)分别为t时刻路段a的行驶时间以及车辆排队长度; T_a、C_a分别为路段a的自由流时间以及单位时间通行能力; u ${}_a^m$ (t)为t时刻m类车在路段a的流入率; δ ${}_a^r$为反映路段与路径间映射关系的0-1变量, 若路径r经过路段a, 则取1, 否则取0。

对于路径r, 必然存在一组有序的路段序列$\left\{a{}_1,\cdots ,a{}_x,\cdots ,a{}_{{\rm N}}\right\}$, 其中: a_x为该路径上次序为x的路段, N为该路径上的路段总数。为描述不同运行工况下的电能消耗特征, 基于平均速度的能耗因子方程^[8], 得

$\begin{array}{l}f{}_r^{\text{E}}(t)={\displaystyle \sum _{a}L}{}_a\delta {}_a^r[1.359/v{}_a(t)-0.003v{}_a(t)+\\ 2.981\times 10{}^{-5}v{}_a^2(t)+0.218](13)\\ e{}_r(t)=f{}_r^{\text{E}}(t)/U(14)\\ v{}_a(t)=L{}_a/\tau {}_a(t)(15)\end{array}$

式中: L_a为路段a的长度; U=380 V, 为电动汽车的电池端电压; v_a(t)为t时刻车辆在路段a上的平均行驶速度。

以角度费用描述出行者对路径绕行的感知, 见图 3, 其中: θ₁、θ₂分别为路段1和2与起点和终点所在方向的夹角。

图  3  角度费用

Figure  3.  Angular cost

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图 3中, 起点到终点间路径角度费用为

$\rho {}_r=l{}_1\sin (\theta {}_1/2)+l{}_2\sin (\theta {}_2/2)(16)$

式中: l₁、l₂分别为路段1和2的长度。

(2) 有充电需求电动汽车

这类出行阻抗函数引入了充电时间、充电站位置等因素, 即

$\begin{array}{l}c{}_r^{\text{C}\text{E}}(t)=\mathit{\beta }(\tau {}_r(t),{\rm T}{}_p^{\text{c}}(t)+{\rm T}{}_{r,p}^{\text{d}}(t),\\ \gamma f{}_r^{\text{E}}(t),l{}_r^p,\theta {}_r^p){}^{\text{Τ}}(17)\\ \mathit{\beta }=(\beta {}_1,\beta {}_2,\cdots ,\beta {}_5)(18)\end{array}$

式中: c ${}_r^{\text{C}\text{E}}$ (t)为t时刻有充电需求电动汽车于路径r的效用; T_p^c(t)为t时刻充电站p处的排队等待时间; T_r^d_{, p}(t)为t时刻经路径r到达充电站p处车辆的平均充电服务时间, 初始SOC取为$\stackrel{-}{{\displaystyle S}}$; l ${}_r^p$为路径r上起点到充电站p的距离; θ ${}_r^p$为路径r上充电站p的绕行角度(图 4); β为该阻抗函数效用变量对应的系数向量, β₁~β₅为其元素。

图  4  绕行角度

Figure  4.  Detour angle

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(3) 燃油汽车

该类出行阻抗函数由行驶时间和能耗费用构成, 表示为

c_r^G(t)=ηf_r^G(t)+φτ_r(t) (19)

$f{}_r^{\text{G}}(t)=1/100{\displaystyle \sum _{a}l}{}_a\delta {}_a^r(125.015/v{}_a-0.097v{}_a+$

9.220×10^-4v ${}_a^2$ +7.056) (20)

式中: c_r^G(t)为t时刻燃油汽车于路径r的效用; η为燃油消耗费率, 取9.350元·kg^-1; f_r^G(t)为t时刻燃油汽车在路径r上的燃油消耗, 能耗因子方程见文献[24]; φ为居民时间价值, 取0.478元·min^-1[25]。

2.1.2   路段状态方程

在动态交通流分配中, 为保证每个时段内各路段上的流量变化守恒, 建立离散化的路段状态方程, 即

$X{}_a^m(t)-X{}_a^m(t-\text{Δ}t)=\text{Δ}t\left[u{}_a^m(t)-v{}_a^m(t)\right](21)$

式中: X ${}_a^m$ (t)为t时刻m类车在路段a的流量; v ${}_a^m$ (t)为t时刻m类车在路段a的流出率。

2.1.3   流量传播约束

为描述动态交通流的流量传播特性, 建立离散化的流量传播约束, 即

${\displaystyle \sum _{m}v}{}_a^m\left[t+\tau {}_a(t)\right]=\frac{{\displaystyle \sum _{m}u}{}_a^m(t)}{1+\left[\tau {}_a(t)-\tau {}_a(t-\text{Δ}t)\right]/\text{Δ}t}$ (22)

由于路段存在通行能力限制, 流出率受到流入率和通行能力的影响, 该约束可表示为

${\displaystyle \sum _{m}v}{}_a^m\left[t+\tau {}_a(t)\right]=\{\begin{array}{cc}C{}_a\hfill & \tau {}_a(t)>t{}_a\hfill \\ {\displaystyle \sum _{m}u}{}_a^m(t)\hfill & \tau {}_a(t)\le t{}_a\hfill \end{array}(23)$

2.1.4   节点流量守恒

对于网络中的节点, 流出节点的流量等于流入流量与该节点处新产生的流量之和, 则

${\displaystyle \sum _{a\in B{}_n}u}{}_a^m(t)=g{}_n^m(t)+{\displaystyle \sum _{a\in A{}_n}v}{}_a^m(t)(24)$

式中: A_n、B_n分别为节点n流入、流出的路段集合; g ${}_n^m$ (t)为t时刻节点n处新产生的m类车的流量。

2.1.5   一般约束条件

此外, 还存在变量守恒、非负性等一般约束条件, 即

$\begin{array}{l}u{}_a^m(t)={\displaystyle \sum _w{\displaystyle \sum _r\delta }}{}_a^{r}u{}_{r,w}^m(t)(25)\\ v{}_a^m(t)={\displaystyle \sum _w{\displaystyle \sum _r\delta }}{}_a^{r}v{}_{r,w}^m(t)(26)\\ {\displaystyle \sum _{d}u}{}_{d,w}^{\text{E}}(t)=d{}_w^{\text{E}}(t)(27)\\ {\displaystyle \sum _{r}u}{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)=u{}_{d,w}^{\text{E}}(t)(28)\\ {\displaystyle \sum _{r}u}{}_{r,w}^{\text{G}}(t)=d{}_w^{\text{G}}(t)(29)\\ u{}_a^m(t),v{}_a^m(t),X{}_a^m(t),\tau {}_a(t)\ge 0(30)\end{array}$

式中: u ${}_{r,w}^m$ (t)、v ${}_{r,w}^m$ (t)分别为t时刻OD对w间m类车在路径r的流入率和流出率; d_w^E(t)为OD对w间电动汽车的出行需求; u_d^E_{, w}(t)为OD对w间选择充电需求d的电动汽车流入率; u_r^E_{d, w}(t)为OD对w间选择充电需求d时路径r的流入率; d_w^G(t)为OD对w间燃油汽车的出行需求量; u_r^G_{, w}(t)为OD对w间路径r的燃油汽车流入率。

2.2   随机动态用户均衡条件

结合用户的出行行为特点, 采用巢式Logit(Nested Logit, NL)模型描述电动汽车的充电需求判断及路径的联合选择行为, 采用多项Logit(Multi-Nomial Logit, MNL)模型描述燃油汽车的路径选择行为。

2.2.1   电动汽车

对于该类出行者, 均衡条件包括充电需求均衡和路径选择均衡, 选择行为模型结构见图 5。

图  5  电动汽车出行行为模型结构

Figure  5.  Model structure of EVs travel behavior

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依据路径的出行阻抗函数, 进一步确定上层选择中OD对w间有充电需求费用c ${}_w^{\text{C}\text{E}}$ (t)和无充电需求费用c ${}_w^{\text{Ν}\text{E}}$ (t)。根据已有研究确定NL模型上层效用^[22], 即

$\begin{array}{l}c{}_w^{\text{C}\text{E}}(t)=-\ln \left[{\displaystyle \sum _r\text{e}}\text{x}\text{p}(-c{}_r^{\text{C}\text{E}}(t))\right](31)\\ c{}_w^{\text{Ν}\text{E}}(t)=-\ln \left[{\displaystyle \sum _r\text{e}}\text{x}\text{p}(-c{}_r^{\text{Ν}\text{E}}(t))\right]+\sigma \stackrel{-}{{\displaystyle S}}+\xi (32)\end{array}$

式中: c ${}_r^{\text{C}\text{E}}$ (t)、c ${}_r^{\text{Ν}\text{E}}$ (t)分别为t时刻有、无充电需求的电动汽车在路径r的出行费用; σ、ξ分别为无充电需求效用函数中初始SOC的效用系数和常数项。

由此确定OD对w间选择充电需求d下的最小期望$E\{\min \left[c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)\right]\}$感知出行费用S[c_d^E_{, w}(t)]及选择概率P_d^E_{, w}(t)分别为

$\begin{array}{l}S\left[c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)\right]=E\{\min \left[c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)\right]\}=-\frac{1}{\lambda {}_1}\ln \{\exp \left[-\lambda {}_{1}c{}_w^{\text{C}\text{E}}(t)\right]+\\ \exp \left[-\lambda {}_{1}c{}_w^{\text{Ν}\text{E}}(t)\right]\}(33)\\ {\rm P}{}_{d,w}^{\text{E}}(t)=\frac{u{}_{d,w}^{\text{E}}(t)}{d{}_w^{\text{E}}(t)}=\frac{\exp \left[-\lambda {}_{1}c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)\right]}{\exp \left[-\lambda {}_{1}c{}_w^{\text{C}\text{E}}(t)\right]+\exp \left[-\lambda {}_{1}c{}_w^{\text{Ν}\text{E}}(t)\right]}(34)\end{array}$

式中: c_d^E_{, w}(t)为OD对w间选择充电需求d的出行费用; λ₁为NL模型上层尺度系数。

在任意时刻t, 若各OD对中被选择的充电需求的瞬时费用等于该时刻该OD对中的最小瞬时费用, 则充电需求的随机动态用户均衡条件成立, 即

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _w{\displaystyle \sum _{t}u}}{}_{d,w}^{\text{E}}(t)\{c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)-S\left[c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)\right]\}=0(35)\\ \{\begin{array}{l}c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)-S\left[c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)\right]\ge 0\\ u{}_{d,w}^{\text{E}}(t)\ge 0\end{array}(36)\end{array}$

在出行者选择充电需求d的条件下, OD对w间路径r的最小期望感知出行费用S[c_r^E_{d, w}(t)]及选择概率P_r^E_{d, w}(t)分别为

$\begin{array}{l}S\left[c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\right]=E\{\min \left[c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\right]\}=\\ -\frac{1}{\lambda {}_2}\ln \{{\displaystyle \sum _r\exp }\left[-\lambda {}_{2}c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\right]\}(37)\\ {\rm P}{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)=\frac{u{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)}{u{}_{d,w}^{\text{E}}(t)}=\frac{\exp \left[-\lambda {}_{2}c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\right]}{{\displaystyle \sum _{r\in R{}_{d,w}^{\text{E}}}\text{e}}\text{x}\text{p}\left[-\lambda {}_{2}c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\right]}(38)\end{array}$

式中: c_r^E_{d, w}(t)为OD对w间选择充电需求d时路径r的出行费用; R_d^E_{, w}为OD对w间选择充电需求d时的有效路径集合; λ₂为NL模型下层尺度系数。

在任意时刻t, 若各OD对中被选择的路径的瞬时费用等于该时刻该OD对中的最小瞬时费用, 则路径选择的随机动态用户均衡条件成立, 即

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _w{\displaystyle \sum _t{\displaystyle \sum _{r}u}}}{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\{c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)-S\left[c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\right]\}=0(39)\\ \{\begin{array}{l}c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)-S\left[c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\right]\ge 0\\ u{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\ge 0\end{array}(40)\end{array}$

2.2.2   燃油汽车

对于该类出行者, OD对w间路径r的最小期望感知出行费用$S\left[c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)\right]$及选择概率P_r^G_{, w}(t)分别为

$\begin{array}{l}S\left[c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)\right]=E\{\min \left[c{}_r^{\text{G}}(t)\right]\}=\\ -\frac{1}{\lambda }\ln \{{\displaystyle \sum _r\exp }\left[-\lambda c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)\right]\}(41)\\ {\rm P}{}_{r,w}^{\text{G}}(t)=\frac{u{}_{r,w}^{\text{G}}(t)}{d{}_w^{\text{G}}(t)}=\frac{\exp \left[-\lambda c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)\right]}{{\displaystyle \sum _{r\in R{}_w^{\text{G}}}\text{e}}\text{x}\text{p}\left[-\lambda c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)\right]}(42)\end{array}$

式中: c_r^G_{, w}(t)为OD对w间路径r的燃油汽车出行费用; R_w^G为OD对w间燃油汽车的可行路径集合; λ为MNL模型系数, 取1。

同理, 可推出燃油汽车路径选择的随机动态用户均衡条件, 即

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _w{\displaystyle \sum _t{\displaystyle \sum _{r}u}}}{}_{r,w}^{\text{G}}(t)\{c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)-S\left[c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)\right]\}=0(43)\\ \{\begin{array}{l}c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)-S\left[c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)\right]\ge 0\\ u{}_{r,w}^{\text{G}}(t)\ge 0\end{array}(44)\end{array}$

2.3   模型构建

建立变分不等式模型解决随机动态用户均衡分配问题, 即

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _w{\displaystyle \sum _d{\displaystyle \sum _t\left[u{}_{d,w}^{\text{E}}(t)-u{}_{d,w}^{\text{E}*}(t)\right]}}}\{c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)+\\ \frac{1}{\lambda {}_1}\left[\ln (u{}_{d,w}^{\text{E}*}(t))-\ln (d{}_w^{\text{E}}(t))\right]-S\left[c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)\right]\}+\\ {\displaystyle \sum _w{\displaystyle \sum _d{\displaystyle \sum _{r\in R{}_{d,w}^{\text{E}}}{\displaystyle \sum _t\left[u{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)-u{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\right]}}}}\cdot \\ \{c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)+\frac{1}{\lambda {}_2}\left[\ln (u{}_{rd,w}^{\text{E}}(t))-\ln (u{}_{d,w}^{\text{E}}(t))\right]-\\ S\left[c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\right]\}+{\displaystyle \sum _w{\displaystyle \sum _{r\in R{}_w^{\text{G}}}{\displaystyle \sum _t[}}}u{}_{r,w}^{\text{G}*}(t)-\\ u{}_{r,w}^{\text{G}*}(t)]\{c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)+\frac{1}{\lambda }[\ln (u{}_{r,w}^{\text{G}}(t))-\\ \ln (d{}_w^{\text{G}}(t))]-S[c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)]\}\ge 0(45)\end{array}$

根据约束条件, 确定该模型的可行域为Ω={5~8, 17, 19, 21, 23~30}。通过寻找最优的流量分布取值$u{}_{d,w}^{\text{E}*}(t),u{}_{rd,w}^{\text{E}*}(t),u{}_{r,w}^{\text{G}*}(t)\in \Omega$, 即可实现求解。

由变分不等式模型的互补松弛K-K-T条件可推导出

$\{\begin{array}{c}c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)+\frac{1}{\lambda {}_1}\{\ln [u{}_{d,w}^{\text{E}*}(t)]-\ln [d{}_w^{\text{E}}(t)]\}-\hfill \\ S\left[c{}_{d,w}^{\text{E}}(t)\right]=0u{}_{d,w}^{\text{E}}(t)>0\hfill \\ c{}_{rd,w}^E(t)+\frac{1}{\lambda {}_2}\{\ln [u{}_{rd,w}^{\text{E}*}(t)]-\ln [u{}_{d,w}^{\text{E}}(t)]\}-\hfill \\ S\left[c{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)\right]=0u{}_{rd,w}^{\text{E}}(t)>0\hfill \\ c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)+\frac{1}{\lambda }\{\ln [u{}_{r,w}^{\text{G}*}(t)]-\ln [d{}_w^{\text{G}}(t)]\}-\hfill \\ S\left[c{}_{r,w}^{\text{G}}(t)\right]=0u{}_{r,w}^{\text{G}}(t)>0\hfill \end{array}(46)$

根据式(33)、(37)、(41), 将S[c_d^E_{, w}(t)]、S[c_r^E_{d, w}(t)]、S[c_r^G_{, w}(t)]代入式(46)后, 经整理, 可知与式(34)、(38)、(42)一致, 证明该变分不等式模型等价于2.2节中电动汽车充电需求、路径选择以及燃油汽车路径选择的随机动态用户均衡条件。既有研究证明, 在均衡分配问题中, 变分不等式与其不动点问题存在等价性^[26]; 当在紧凸的流入率集合内建模时, 等价性在动态条件下仍成立^[27]。由此, 上述模型也可被视为不动点问题, 由于变量为连续函数, 则认为存在可行解。

2.4   求解算法

针对该问题的求解算法中, 迭代平均法应用最为广泛, 也衍生出多种变体。如Liu等提出一种自适应平均法优化不动点问题的求解效率^[28]。为充分反映电动汽车出行者与充电设施的互动关系, 本文提出一种适应性的迭代求解算法, 依次包含迭代初始化、时间初始化、更新时间戳、更新出行阻抗、需求分配、流量传播、更新路段状态、时间约束判断、收敛判断9个步骤。其中, 步骤3~8为动态网络加载过程, 具体流程如下。

步骤1:令迭代次数n=1, 控制误差限ε=1×10^-4, 定义附加流入率$\stackrel{-}{{\displaystyle u}}{}_{r,w}^{m,n}(t)$, 令$\stackrel{-}{{\displaystyle u}}{}_{r,w}^{m,0}(t)=0$。

步骤2:令起始时间t=0, 终止时间T=300 min, 步长Δt=1 min。初始化路段状态变量, 令X_a^m(t)=0, u ${}_a^m$ (t)=0, v ${}_a^m$ (t)=0, q_a(t)=0, 执行排队仿真算法步骤1(QSA-1)。

步骤3:令t=t+Δt, 执行QSA-2。

步骤4:根据当前网络流量分布状态, 通过式(8)、(17)、(19)计算不同子网络中各路径的出行阻抗c ${}_r^{\text{Ν}\text{E}}$ (t)、c ${}_r^{\text{C}\text{E}}$ (t)、c_r^G(t)。

步骤5:依据式(1)、(2)筛选当前可行路径, 结合当前时刻的出行需求量d_w^E(t)、d_w^G(t), 按式(34)、(38)、(42)计算各OD对间各路径的流入率u_d^E_{, w}(t)、u_r^E_{d, w}(t)、u_r^G_{, w}(t); 结合u ${}_{r,w}^{m,n}$ (t)=u ${}_{r,w}^{m,n-1}$ (t)+(1/n)·[u ${}_{r,w}^{m^{\prime },n-1}$ (t)-u ${}_{r,w}^{m,n-1}$ (t)]计算本次迭代的实际加载量; 以用户为单位进行加载, 依次添加至集合I, 初始化用户所处路段a_i(t), 并结合式(11)计算预期驶离当前路段的时间T ${}_i^e$ (t), 以此作为用户位置状态更新的依据。

步骤6:执行QSA-3, 更新用户充电完成状态, 遍历$i\in \{{\rm I}\backslash {\rm I}{}_p^k(t)\}$, 若T ${}_i^e$ (t) > t+Δt, 则认为用户i仍处于原路段, 维持a_i(t-Δt)⇒a_i(t), T ${}_i^e$ (t-Δt)⇒T ${}_i^e$ (t), 继续遍历; 若T_i(t)≤t+Δt, 则认为用户i的位置状态发生变化, 优先判断用户i的路径r中是否存在未完成路段, 若不存在, 将用户i从I中移除, 继续遍历, 若存在, 再判断用户i是否到达充电站且具有充电需求(QSA-4), 若成立, 执行QSA-5, 继续遍历, 否则认为用户离开原路段并进入下一路段; 更新a_i(t)、T ${}_i^e$ (t)后继续遍历。

步骤7:对用户位置状态变量进行集计, 更新X ${}_a^m$ (t)、u ${}_a^m$ (t)、v ${}_a^m$ (t)以及q_a(t), 执行QSA-6, 更新当前充电设施的服务水平指标。

步骤8:若t≤T, 返回步骤3;否则执行步骤6。

步骤9:当n≥2时, 判断是否满足收敛条件

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _w{\displaystyle \sum _m{\displaystyle \sum _r{\displaystyle \sum _{t}u{}_{r,w}^{m,n}(t)-u{}_{r,w}^{m,n-1}(t)}}}}\cdot \\ [{\displaystyle \sum _w{\displaystyle \sum _m{\displaystyle \sum _r{\displaystyle \sum _{t}u}}}}{}_{r,w}^{m,n}(t)]{}^{-1}<\epsilon \end{array}$

若满足, 则停止迭代, 若不满足, 则令n=n+1, 计算附加流入率

$\stackrel{-}{{\displaystyle u}}{}_{r,w}^{m,n}(t)=\{\begin{array}{cc}u{}_{r,w}^{\text{G},n}(t)p{}_{r,w}^{\text{G},n-1}(t+\text{Δ}t)& m=\text{G}\\ u{}_{r,w}^{\text{E},n}(t)p{}_{rd,w}^{\text{E},n-1}(t+\text{Δ}t)& m=\text{E}\end{array}$

返回步骤2继续迭代。

3.   数值分析

在验证模型与算法有效性的基础上, 以电动汽车混入率、初始SOC水平描述用户充电需求, 以充电桩数量、充电站布局描述充电资源供给水平, 探究上述关键因素对充电设施服务水平的影响。

3.1   算例介绍

如图 6所示, 该Nguyen-Dupius网络^[29]包含13个节点、19个路段和4个OD对, 箭头处括号内数字分别为L_a、T_a和C_a的取值^[30]。为反映现实条件下充电需求的时变特性, 在研究时段设置高峰期和平峰期, 各时段电动汽车和燃油汽车的需求总量为12 138 pcu, 需求分布见图 7。

图  6  Nguyen-Dupius网络

Figure  6.  Nguyen-Dupius network

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图  7  车辆需求分布系数

Figure  7.  Distribution coefficient of vehicles demand

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为充分展现电动汽车充电行为对混合交通路网的影响, 将电动汽车混入率设为较高水平, 取60%;设初始SOC呈正态分布, 均值取65%, 方差取0.1;电动汽车的出行效用系数、尺度系数分别取α=(0.105, 0.066, 0.227, 0.313), β=(0.105, 0.084, 0.066, 0.072, 0.132)^[22], σ=-26.257, ξ=10.159, λ₁=0.504, λ₂=λ=1;依据需求覆盖能力最大化的原则^[27], 初步确定充电站位于节点7和10处, 且各配有20台快充桩。

图 8为算法的收敛过程, 经42次迭代后符合精度约束, 表明该算法能够有效地求解提出的动态交通流分配模型。统计不同时刻进入路网的电动汽车的充电选择情况, 见图 9, 可知: 在该出行场景下, 用户的初始SOC较为充裕, 充电用户仅占约9.2%, 其波动性反映出用户对充电需求的判断受充电站当前服务状态影响显著。

图  8  算法收敛过程

Figure  8.  Convergence process of algorithm

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图  9  充电需求变化

Figure  9.  Variation of charging demand

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以OD对1-3为例, 分析路径选择层面的差异性, 并统计充电站处的排队长度变化情况, 分别见图 10、11, 可知: 该OD对内各路径的分担率随时间呈动态变化, 流入率的持续升高会加剧关联路段的拥堵, 导致该路径的阻抗上升, 进而影响后续用户对该路径的选择, 如在100~200 min期间, 路径C和E呈现出明显的互补性; 受车辆需求分布及充电站位置的影响, 充电站7和10的充电高峰时间分布与强度存在明显差异。

图  10  OD对1-3间路径选择情况

Figure  10.  Route choosing patterns between OD pair 1-3

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图  11  充电站处排队长度变化

Figure  11.  Variations of queue lengths at charging stations

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进一步分析用户充电行为的耗时规律, 见图 12、13, 可知: 用户于充电站的逗留时间以15~20 min居多, 通常不超过30 min, 约90%用户的等待时间在9 min以内, 表明该模型符合现实情况, 能够准确刻画用户的充电行为。

图  12  用户在充电站逗留时间频数分布

Figure  12.  Frequency distributions of uses' dwell times at charging stations

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图  13  用户在充电站等待时间频数分布

Figure  13.  Frequency distributions of uses' waiting times at charging stations

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3.2   关键因素对充电设施服务水平的影响

以电动汽车混入率作为决策变量, 在其他参数不变的条件下, 分析用户充电服务的耗时情况, 结果见表 1, 可知: 混入率的上升会造成充电服务耗时的增加, 由40%增至60%的过程中, 耗时增加并不明显, 这与用户充电需求的弹性有关, 即当充电时间成本增加时, 部分用户会通过寻找能耗相对较低的路径规避充电行为; 当混入率达到80%时, 充电需求量过大, 充电站的排队现象显著加剧。

表  1  不同电动汽车混入率下充电服务耗时

Table  1.  Time consumptions of charging service under different penetration rates of EV

充电站编号	不同电动汽车混入率(%)下用户的平均等待时间/min			不同电动汽车混入率(%)下用户的平均逗留时间/min
	40	60	80	40	60	80
7	0	3.04	9.28	17.21	20.36	26.79
10	0	3.66	13.07	16.87	20.72	30.51

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分析不同初始SOC下的充电需求变化情况, 见图 14, 可知: 初始SOC是影响充电需求弹性的关键因素, 当$\stackrel{-}{{\displaystyle S}}$由85%下降至65%时, 充电用户数量明显升高, 但仍能够在300 min内完成全部充电服务; 当$\stackrel{-}{{\displaystyle S}}$下降至45%时, 用户难以通过均衡状态寻找低阻抗路径完成出行, 导致充电成为一种硬性需求, 进而造成充电站处排队等候时间过长, 用户无法于预期时段内驶离路网。

图  14  不同初始SOC下完成充电服务的车辆数

Figure  14.  Numbers of vehicles completed charging service under different initial SOCs

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宏观层面上, 初始SOC能够在一定程度上表征区域内私人充电桩的保有情况。当保有率较低时, 用户难以保证其初始SOC充足, 便会更依赖公共充电设施, 故从资源供给的角度分析充电设施的规模及利用状况, 见表 2, 其中充电设施平均利用率指研究时段内充电设施服务时间所占的比例, 用于反映设施的闲置状态。可知: 当充电桩不足20台时, 存在与图 14中$\stackrel{-}{{\displaystyle S}}=45\%$类似的充电站内排队过长的情况; 当充电桩超过25台时, 累计服务数不再增加, 且平均利用率不断降低。表明在现有出行需求下, 充电设施配置过剩, 已经无法通过提高服务水平来吸引更多有潜在充电需求的用户。由于有充电需求用户的路径选择往往存在局限性, 供需间不匹配会加重充电设施邻近路段的拥堵效应。

表  2  不同规模下充电设施利用情况

Table  2.  Utilization conditions of charging facilities under different scales

充电站编号	指标	10台充电桩	15台充电桩	20台充电桩	25台充电桩	30台充电桩
7	平均利用率/%	93	92	76	68	54
	累计服务数/pcu	136	195	234	249	251
10	平均利用率/%	87	84	63	48	41
	累计服务数/pcu	125	176	187	187	184

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定义总费用为全体用户的出行成本, 总能耗为全体用户的出行能耗, 含燃油消耗和电能消耗之和, 均衡系数为各充电站服务车辆数的标准差与平均值之比, 并以此分析充电站布局对用户出行的整体影响, 见表 3, 可知: 充电站位置会对交通网络的均衡性、用户出行成本等方面产生重要影响; 对比充电站位于节点7、10和7、9的2个布局方案, 当充电设施位于节点10时, 总费用与能耗均较低, 对充电站的利用也更为均衡, 因此, 在考虑流量分布均衡性的基础上, 合理部署充电资源有助于降低用户出行成本, 提升路网运行效率和平衡电网的用电负荷, 为电动汽车的推广创造良好的交通环境。

表  3  不同布局方案下的指标统计结果

Table  3.  Statistical results of indicators under different location schemes

充电站布局	节点7、10	节点7、9	节点6、11	节点6、9	节点5、11	节点5、10
总费用/103元	275.468	276.107	275.351	276.429	276.192	276.712
总能耗/kJ	6.893×108	6.917×108	6.902×108	6.911×108	6.907×108	6.891×108
均衡系数	0.115	0.361	0.204	0.719	0.448	0.393

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4.   结语

(1) 在构建电动汽车混入的混合交通网络的基础上, 提出考虑用户动态充电需求的排队仿真模型, 实现了对电动汽车在途充电行为的准确刻画。

(2) 针对充电需求的弹性及时变规律, 将动态充电时间成本纳入用户的出行决策过程, 建立了燃油汽车路径选择、电动汽车充电需求以及路径选择的随机动态用户均衡分配模型, 并设计了融合充电排队仿真的迭代求解算法, 为电动汽车混入条件下的动态交通流分配模型提供了新的建模和求解思路。

(3) 在验证模型和算法有效性的基础上, 从排队长度、用户逗留时间、设备利用率等方面分析了不同场景下充电设施的服务水平, 证明了电动汽车混入率、初始SOC、充电站布局与规模均是影响服务水平和路网均衡状态的关键因素。

(4) 以此为基础, 结合现实路网的流量分布, 可指导既有充电设施布局的合理性评估。在理论研究方面可进一步剖析出行者异质性对充电选择行为的影响, 并综合考虑充电设施的建设与运营成本, 开展充电设施网络布局优化研究。