Computation methods of axial forces for main cables and short hangers of suspension bridges
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摘要: 为解决短吊杆轴力难以用频率法确定的问题, 提出了确定悬索桥主缆和短吊杆轴力的节点平衡法和比拟法。节点平衡法以吊点为分析对象建立以主缆轴力为未知量的超定平衡方程组, 从而获取主缆轴力的最小二乘解, 并进一步确定短吊杆轴力。比拟法基于长吊杆轴力与简支梁弯矩间关系, 建立主缆线形与长吊杆轴力的关系方程, 最终确定主缆的水平张力与短吊杆的轴力。以贵州南盘江悬索桥为例, 分别应用节点平衡法和比拟法得出主缆张力和吊杆轴力。计算结果表明: 2种方法的计算值与频率法实测值相近, 节点平衡法所得主缆张力误差为-4.3%(上游)和3.1%(下游), 比拟法所得主缆张力误差为-8.6%(上游)和-0.1%(下游); 2种方法所得长吊杆轴力最大误差约为10%, 上游吊杆轴力平均误差小于2%, 下游吊杆轴力平均误差约为9%。可见, 节点平衡法和比拟法是确定主缆和短吊杆轴力的有效方法。Abstract: To solve the problem that the axial forces of short hangers can not be measured by vibration method, nodal equilibrium method and analogy method were provided to estimate the axial forces of main cables and short hangers of suspension bridges. Nodal equilibrium method took the suspension points as analytical object to set up the over determined equilibrium equations in which the axial forces of main cables were unknown, the least squares solution of axial forces of main cables was obtained, and the axial forces of short hangers were determined. Analogy method analyzed the relationship between the axial forces of long hangers and the bending moment of equivalent beam, set up the relationship equations between the linetypes of main cables and the axial forces of long hangers to ultimately determine the horizontal tensions of main cables and the axial forces of short hangers. Guizhou Nanpan River Suspension Bridge was taken as an example, and the axial forces of main cables and hangers were estimated by using the two methods respectively. Computation result shows that calculation values by the two methods are close to the values measured by vibration method. The errors of axial forces of main cables by nodal equilibrium method are -4.3%(upstream)and 3.1%(downstream), and the errors by analogy method are -8.6%(upstream)and -0.1%(downstream). The maximum error of axial forces of long hangers by both methods is about 10%. The average errors of axial forces of upstream hangers are less than 2%, and the errors of downstream hangers are about 9%. So nodal equilibrium method and analogy method are effective to determine the axial forces of main cables and short hangers.
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0. 引言
主缆是悬索桥最重要的结构构件, 它的性能直接决定了整座桥梁的性能[1]。对于已建悬索桥的评估和加固工作而言, 准确估计主缆的状态是整个桥梁评估工作的重点环节。另外吊杆是悬索桥重要的传力构件, 确定吊杆状态也是桥梁评估工作的关键之一, 韩万水等对四渡河大桥进行有限元模型修正时就非常重视吊杆力的实测数据[2]。主缆和吊杆是柔性构件, 几何刚度是构件总刚度的主要组成部分, 因此, 多数学者认为柔性构件的线形和轴力决定了其刚度。唐茂林等采用分段悬链线法计算了悬索桥成桥主缆线形[3]; 齐东春等采用解析计算方法计算了悬索桥空间缆索线形[4]; 陈常松等采用悬链线方程精细迭代分析法计算了悬索桥主缆初始位形[5]。在进行构件状态评估时, 不仅要评估构件的截面损伤情况, 还要准确测量构件的线形, 更要合理确定主缆和吊杆的轴力, 王达等提出对于大跨悬索桥的索股张力需要进行精细化的控制[6]。
主缆线形测量可以采用经纬仪与全站仪等仪器直观测量, 而轴力一般采取间接测量的办法。目前, 确定主缆和吊杆轴力的方法主要是采用测量频率或磁通量的手段直接获取能体现轴力的特征物理量, 从而间接反映构件轴力。其中测频法是测量柔索张力最常用的方法, 在工程中被广泛应用, 近年来有许多学者对其进行发展和修正。陈常松等分析了经典理论的阶次误差和约束误差[7]; 唐盛华等考虑了边界条件从而对经典公式进行了修正[8]; Kim等提出了可同时计算拉力、抗弯刚度和轴向刚度的方法[9]; Zui等考虑了抗弯刚度和主缆下垂因素在计算过程中的影响[10]; Fang等将曲线拟合技术应用到了计算方法中[11]; Nam等在计算过程中对小抗弯刚度进行了简化假设[12]。近年来出现了一些新的测量手段, Pelgrims等发明了一种新型传感器用以测量细索张力, 虽然目前仅针对骨外科手术, 但稍加改造即可应用于桥梁工程[13]; Gao等采用纤维传感器测量预应力索的张力[14], 但由于技术较新且限制较多, 还没有大规模使用; Cho等系统对比了斜拉桥索力各种场测技术的优缺点[15]。
目前, 大多数悬索桥和斜拉桥的索力测量都采用了测频法或类似的方法[16-20]。这种方法计算过程简单, 结果令人信服。然而测频法测量长吊杆和主缆的轴力精度较高, 但是测量短吊杆的轴力精度很低。另外, 由于边跨主缆位置较低, 且无吊杆干扰, 故能方便测得边缆自振频率, 但是中跨主缆一般位置很高而很难布置传感器, 且吊杆的存在干扰测试。磁通量法只能获得构件的轴力增量, 得不到轴力全量。再者, 由于测量误差的存在, 不同构件间测量结果不能相互印证, 甚至会相互矛盾。本文提出简单有效的节点平衡法和比拟法确定悬索桥主缆和短吊杆的轴力, 并通过一个实例验证方法的可行性。
1. 节点平衡法
对旧桥进行评估时, 实桥所受荷载和设计图纸往往是有差别的, 特别是历史上经过多次路面铺装的旧桥。另外, 由于吊杆腐蚀与松弛等原因, 吊杆的轴力很难通过图纸荷载计算的办法确定而需要采用测频法测定。然而测频法对于短吊杆的轴力测量精度很差, 一般短吊杆的轴力是无法测得的。节点平衡法通过静力平衡的原理确定主缆的轴力, 进而确定所有吊杆的轴力。
主缆是柔性构件, 通常忽略其抗弯刚度。吊杆间距较小时可用一系列二力杆模拟主缆(图 1)。设一共有n根吊杆, 第i根吊杆对应的节点坐标为(xi, yi), 其中m根吊杆的轴力无法测定。n根吊杆对应的n个主缆节点坐标与主缆在主塔上编号为0和n+1的两个端点坐标(x0, y0)、(xn+1, yn+1)可通过全站仪或经纬仪等仪器测定。坐标系xOy的原点O与点0重合。
对吊杆对应的节点进行受力分析, 对于任一根吊杆, 不论其吊杆轴力是否被测得都可对节点列出水平投影平衡方程, 吊杆轴力可被测得时可对节点列出竖直投影平衡方程(图 2), 分别为
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 式中: ci、si分别为第i段主缆倾角αi的余弦和正弦; Ni、Ni+1分别为第i个节点前、后段主缆的轴力; Gi为第i个节点上索夹重力和主缆自重的等效节点荷载之和, 可根据图纸和现场观察综合确定; Ti为第i根吊杆的轴力, 吊杆为长吊杆时可用测频法测出轴力; Li为第i段主缆的长度。
以主缆轴力为未知量, 所有平衡方程涉及的未知量共有n+1个, 式(1)涉及的平衡方程有n个, 式(2)涉及的平衡方程有n-m个, 两式涉及的平衡方程共有2n-m个。将这些方程整合在一个方程组内为
(5) 
(6) 
(7) 
(8) 
(9) 
(10) 式中: Hij为矩阵H的第i行第j列元素; N为主缆轴力矩阵; Bi为矩阵B的第i个元素。
根据未知量个数n+1和平衡方程个数2n-m之间的关系可分为3种情况。
(1) 当n+1 > 2n-m时, 主缆的轴力不能唯一确定, 这意味着所有吊杆的轴力都无法测出, 这在实践中极少见。
(2) 当n+1=2n-m时, 主缆的轴力可以唯一确定, 此时有n-m=1, 说明只要有一根吊杆的轴力被测得, 主缆的轴力就可以唯一确定, 这也是少见的情况。
(3) 当n+1 < 2n-m时, 若吊杆轴力的测量是无误差的, 主缆线形测量也是精准的, 那么平衡方程组式(5)是相容的。但由于测量总有误差, 因而平衡方程组并不相容, 只能获得主缆轴力最小二乘解, 实践中这种情况较普遍。
对于第3种情况, 主缆的轴力是式(5)的最小二乘解
(11) 求得主缆轴力后, 即可通过式(2)求得所有吊杆的轴力。
需要注意的是, 由于式(11)是最小二乘解, 则单段主缆轴力测量误差将会被其余段主缆轴力测量误差拉平, 这样有利于控制主缆轴力的估计误差。单根吊杆的轴力通过式(2)修正后, 误差也趋于均匀。
2. 比拟法
与节点平衡法一样, 比拟法也适用于已知主缆线形但只知道部分吊杆轴力的问题。通过简单推导, 可知受任意铅直荷载q(x)悬索(图 3)的线形控制微分方程及其边界条件分别为
(12) 
(13) 
(14) 式中: y (x)为悬索的线形; x为水平位置; h为主缆的水平张力; l为主缆跨度; e为悬索两端悬挂点的高差。
与上述悬索等跨度并承受同样铅直荷载q(x)的简支梁见图 4, 其内力微分方程及其边界条件分别为
(15) 
(16) 
(17) 式中: M(x)为简支梁的弯矩; E为水平位置l处的弯矩。
式(12)、(15)的形式是一样的, 边界条件也是类似的。作变量代换
(18) 
(19) 式(12)、(15)的解仅差一个比例常数h。由此可知, 对于承受沿跨度分布铅直荷载的悬索, 其线形和等跨同荷简支梁的弯矩图是相似的, 两者仅差一个比例常数, 该比例常数为主缆的水平张力。
在简支梁上加载吊杆力(图 5), 易得吊杆力和简支梁弯矩之间的关系为
(20) 整理得
(21) 再考虑主缆线形和简支梁弯矩间的关系可得
(22) 式中: Mi为第i个简支梁的弯矩。
假定主缆共有n根吊杆, 其中m根吊杆的轴力无法测定, 主缆的节点坐标通过全站仪或经纬仪等仪器测定, 确定主缆轴力和吊杆轴力的步骤如下。
(1) 对于n-m根可测得轴力的吊杆, 均按式(22)确定主缆水平张力h。由于测量误差的存在, 这n-m个h值一般不相等, 取它们的平均值h后可根据主缆轴力和水平张力间的关系计算各段主缆的轴力
(23) (2) 对于m根不可测得轴力的吊杆, 可将上一步得到的h代入式(22)中计算吊杆轴力。
由于对主缆水平张力h取了平均值, 单段主缆轴力的测量误差被其余段主缆轴力的测量误差拉平, 这有利于主缆轴力估计误差的控制。而单根吊杆的轴力通过式(22)修正后, 误差也趋于均匀。
3. 计算结果分析
3.1 桥梁简介与现场测量
贵州省南盘江大桥位于盘百公路安龙至洪江段的南盘江上, 大桥跨越南盘江后进入广西。大桥主跨为加劲钢桁架地锚单跨悬索桥, 贵州岸为重力锚, 广西岸为岩石锚, 纵桥向跨径组成见图 6。该桥1998年建成, 2003年被判为危桥, 经过加固加劲梁节点、去除人行道盖板和维修桥面板等大修后, 按单向通行开放交通进行管理。
2008年对大桥进行了结构外观、主缆线形、主缆轴力、吊杆轴力检测与静动载试验, 对大桥结构技术整体状态和承载能力进行评估, 其结构技术状态综合评定为差, 即4级。检测报告指出加劲梁位置已发生变化, 主桁架高程纵桥向呈S形, 高差较大, 桥面横向也存在高差。
2012年再次对大桥进行了主缆线形、主缆轴力和吊杆轴力检测。中跨主缆各吊点坐标由全站仪测得, 整理后坐标见表 1。单侧主缆共有39根吊杆, 自贵州岸开始编号, 1~13、27~39号吊杆的轴力可由相关理论和计算公式[21]测得(表 2), 14~26号短吊杆的轴力无法测得, 两个端点编号为0、40。采用测频法测量了边跨主缆的轴力, 实测法1为直接测量整根边缆的频率推算轴力, 实测法2为抽样测量锚室内边缆若干散索(图 7)的频率进而推算相应索力, 并求出边缆轴力, 实测结果见表 3。
表 1 中跨主缆吊点坐标Table 1. Hanging point coordinates of main cable midspan
表 2 吊杆轴力测量结果Table 2. Measurement results of hanger axial forces
表 3 边跨主缆轴力测量结果Table 3. Measurement results of main cable axial forces in sidespans
3.2 计算结果分析
按节点平衡法和比拟法确定的主缆轴力结果见表 4。表中, 误差1为计算结果与实测法1所得结果之间的误差, 误差2为计算结果与实测法2所得结果之间的误差。
表 4 主缆轴力对比Table 4. Comparison of axial forces of main cables
实测法1的误差为2.5%(上游)和3.2%(下游), 实测法2的误差为4.0%(上游)和1.0%(下游)。以误差较小为原则, 上游主缆张力选取实测法1的结果26 152kN作为衡量基准, 下游主缆张力选取实测法2的结果23 147kN作为基准。
与实测法基准值相比, 节点平衡法所得结果的误差为-4.3%(上游)和3.1%(下游), 表明计算结果和实测结果相近。比拟法所得结果的误差为-8.6%(上游)和-0.1%(下游), 与实测结果也比较相近。
部分吊杆轴力的计算结果见表 5。轴力不可测得的短吊杆的轴力能用节点平衡法和比拟法确定, 且2种方法的结果很相近。长吊杆轴力的计算结果与实测结果差别不大, 最大差别为10%左右。上游吊杆轴力平均误差不到2%, 下游吊杆轴力平均误差为9%左右。
表 5 部分吊杆轴力对比Table 5. Comparison of axial forces of some hangers
4. 结语
本文提出了确定短吊杆轴力和主缆轴力的节点平衡法和比拟法, 可以利用可测数据综合确定轴力不可测得的短吊杆轴力和主缆轴力。节点平衡法所得主缆张力与实测的边缆张力相比, 误差约为4%, 比拟法所得结果误差最大为-8.6%, 这说明两种计算方法的结果和实测结果比较相近。2种方法可确定不可测得的短吊杆轴力, 且结果很相近, 所得长吊杆轴力与实测结果差别不大, 最大差别约为10%。
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表 1 中跨主缆吊点坐标
Table 1. Hanging point coordinates of main cable midspan
表 2 吊杆轴力测量结果
Table 2. Measurement results of hanger axial forces
表 3 边跨主缆轴力测量结果
Table 3. Measurement results of main cable axial forces in sidespans
表 4 主缆轴力对比
Table 4. Comparison of axial forces of main cables
表 5 部分吊杆轴力对比
Table 5. Comparison of axial forces of some hangers
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