Faudree猜想与Hamilton性

Ｆａｎｄｒｅｅ，Ｇｏｕｌｄ和Ｊａｃｏｂｓｏｎ等人在１９８９年曾提出的如下猜想：如果Ｇ是ｎ阶２－连通图，δ（Ｇ）≥ｔ，任意ｎ，ｖ∈Ｖ（Ｇ），且ｕｖ∈Ｅ（Ｇ），／Ｎ＊ｕ）∪Ｎ（ｖ）／≥ｎ－ｔ＋１，则一点泛圈图，文中证明了这个猜想，还得到了条件相近的另一结果。     

一类（k,d）—算术图

证明广义Ｋ（４，ｎ）图是（２ｄ＋２ｒ，ｄ）－算术图或（ｄ＋２ｒ，ｄ）算术图，并且提出了一个猜想。     

具有三个边不交的圈的图

证明了当图Ｇ的边数ε（Ｇ）与顶点数ｖ（Ｇ）满足ε（Ｇ）≥ｖ（Ｇ）＋９且ｖ（Ｇ）≤１７时，图Ｇ含有三个边不交的圈，并指出该结果是最好的。     

若干平面图的邻强边染色

图Ｇ的一ｋ－正常染色ｆ若使得任意ｕｖ∈Ｅ（Ｇ）满足ｆ（ｕ）≠ｆ（ｖ）,其中ｆ（ｕ）＝ｆ（ｕｗ）│ｕｗ∈Ｅ（Ｇ）,则称ｆ的Ｇ的一ｋ－邻强边染色,简称ｋ－ＡＳＥＣ,并称Ｘａｓ（Ｇ）＝ｍｉｎ（ｋ│存在Ｇ的一ｋ－ＡＳＥＣ）为Ｇ的邻强边色数,研究了唯一圈图和六角系统图的邻强边色数,并提出了一个猜想：对２－连通图Ｇ（Ｖ,Ｅ）（Ｇ（Ｖ,Ｅ）≠Ｃ５）,有△（Ｇ）≤Ｘ′ａｓ（Ｇ）≤△（Ｇ）＋２。     

Ramsey数r（mC4,nC4）

地于图Ｇ和图Ｈ，Ｒａｍｓｅｙ数ｒ（Ｇ，Ｈ）定义为最小正整数ｐ，使得经任意红兰２边着色的完全图ＫＰ，或者其红色子图包含Ｇ，春兰色图包含Ｈ。以ｍＣ４表示ｍ个素相交的Ｃ４。得到以下结论：当ｎ≥ｍ≥１（ｍ，ｎ）≠（１，１）时，ｒ（ｍＣ４，ｎＣ４）＝２ｍ＋４ｎ－１display structure     

图的符号控制数

图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）的顶点集Ｖ上定义一个二值函数ｆ：Ｖ→｛－１，１｝，若在任何一个顶点ｖ的闭邻域Ｎ［ｖ］上函数值的和至少是１，即Ａ↓ｖ∈Ｖ，ｆ（Ｎ［ｖ］）≥１，则称ｆ是Ｇ的一个符合控制函数。符号控制函数的仅重定义为ｆ（Ｖ）Σｖ∈Ｖ ｆ（ｖ）。图Ｇ的符合控制数等于Ｇ的一个符号控制函数的最小权重，记为γｓ（Ｇ）。本文建立了几类图的符合控制数的精确值，并讨论了γｓ（Ｇ）的界。     

双循环,对集和树

令Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）为一个图，它的节点数为ｎ，不仅是一个双循环也是一个上循环。记β（Ｇ）为Ｇ的双循环空间的维数，对于Ｇ的一个图Ｈ，用ψ（Ｇ，Ｈ）表示Ｇ的支撑森数目，使得它的每个树均恰含Ｈ的一条边。图Ｇ的Ｈ－扩张Ｘ（Ｇ，Ｈ）在Ｇ上增添一个新节点ｖ，边ｖ与Ｈ的每一个奇次节点以一边听得到的图。     

含邻域交的Hamilton及Hamiltn连通图

对任意一对不相邻的顶点ｕ和ｖ,ａ（ｕ,ｖ）表示图Ｇ中含ｕ,ｖ的最大独立集的顶立数．通过讨论邻域交│Ｎ（ｕ）∩Ｎ（ｕ）│与ａ（ｕ,ｖ）的关系,本文得到了关于Ｈａｍｉｌｔｏｎ及Ｈａｍｉｌｔｏｎ连通图的新的充分条件,这些结果推广了现有的有关结果。     

若干图的符号控制数

定义在图Ｇ（Ｖ，Ｅ）的顶点集Ｖ上的二值函数ｆ：→｛－１，１｝，称为Ｇ的符号控制函数当且仅当时Ａｖ∈Ｖ在Σｖ∈Ｎ」ｖ」ｆ（ｖ）≥１．ｆ（Ｖ）＝Σｖ∈Ｖｆ（ｖ）称为符号控制函数Ｆ的权。     

图的集控制数

设图Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）．一子集Ｄ包含于Ｖ，若对每一个Ｘ包含于Ｖ－Ｄ，都存在一个非空子集合Ｙ包含于Ｄ，使得由Ｘ∪Ｙ所导出的子图（Ｘ∪Ｙ）连通，则称Ｄ为Ｇ的一个集控制集（ｓｄ－集）。Ｇ的集控制数ｙ２（Ｇ）是Ｇ的一个集控制集的最小基数。本文给出了集控制集一个充要条件，并讨论了生成子图与补图的集控制数。     

图的k—degenerate子图分解

引进一个图的子图序列概念研究函数ρ（Ｇ），ｆ（Ｇ）和Ｆ（Ｓλ）分别得到ρ（Ｇ）≤（δ＋１）／（ｋ＋１）ｆ（Ｇ）≥２／（△（Ｇ）＋１）及Ｆ（Ｓ）＝２／Ｈ（ｈ）（Ｈ〉０）。     

关于Halin图的边面全着色数

设Ｘ（Ｇ）表示Ｈａｌｉｎ图Ｇ的边面全色数，文献（１）中提出如下两个猜想：（１）对△（Ｇ）＝３的Ｈａｌｉｎ图Ｇ，有４≤Ｘ（Ｇ）≤５；（２）对△（Ｇ）＝６的Ｈａｌｉｎ图Ｇ，有Ｘ（Ｇ）＝６．其中△（Ｇ）表示图Ｇ的最大度数，本文证明了这两个猜想的正确性。     

关于优美图边数的一个上界

证明当ｎ≥２５时，ｎ阶优美图的最多边数ｆ（ｎ）＜（ｎ／２）－ｎ，并以此探讨了圈补图的优美性。     

低度Halin图的点边全色数

证明了对于Δ（Ｇ）＝４的任一Ｈａｌｉｎ图Ｇ，都有ｘｔｅ（Ｇ）＝５，此处Δ（Ｇ）和ｘｔｅ（Ｇ）分别表示图Ｇ的最大度数和点边全色数；对于Δ（Ｇ）＝３的Ｈａｌｉｎ图Ｇ的点边全色数作了初步的探讨。     

完全图冠的优美性

对ｎ阶完全图的每一点均增加Ｓ个悬挂点的图记为Ｉｓ（Ｋｎ）本文证明了当且仅当ｎ《９时Ｉ１（Ｋｎ）为优美图，并对Ｉ２（Ｋｎ）的优美性作了探讨。     

具有给定直径的正则图的最小阶数

设ｄ和Ｋ为任意给定的自然数，（Ｋ≥２），Ｐｋ（ｄ）表示直径为ｄ的Ｋ度正则图的最小阶数，本文给出了Ｐｄ（ｄ）的表达式。     

广义图K（5,n）的边色数

本文给出了完全图Ｋ５的广义图Ｋ（５，ｎ）的一种正常边着色法，从而解决了这类图的边色数。     

关于最小临界图的一些性质

讨论了最小临界图的某些性质，并得到最小临界图Ｇ的围长ｇ（Ｇ）〉５。     

一个Hamilton图的邻域交条件

设Ｇ是２－连通图。如果对其任一－３独立集｛ｘ１，ｘ２，ｘ３｝，有ｘｉ（１≤ｉ≤３）使得Ｎ（ｘｉ）与ＵＮ     

关于Halin图的色数问题

对《Ｈａｌｉｎ图的色性》一文中关于Ｈａｌｉｎ图Ｇ的色数和边色数的两个定理给出了新的证明，并确定了Ｇ的最大度数（△（Ｇ）为４时的Ｈａｌｉｎ图的全色数（ｘｒ（Ｇ）为５，仙此解决了该文中未解决的问题。